DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

A continuación vamos a ver como calcular las distancias entre varios elementos  de un plano.

Para comenzar la medición de la distancia entre 2 puntos cuenta con 2 formas para hacerlo dependiendo en donde se encuentren los puntos.

Por ejemplo si los 2 puntos se encuentran ubicados solo en el eje “X” (abscisas) o en una recta paralela a este eje la distancia entre los puntos corresponde al resultado de diferencias de abscisas.

EJEMPLO:

Distancia entre estos 2 puntos: (-4,0) y (5,0) = 9

Ahora cuando los puntos se encuentran regados en cualquier parte del plano cartesiano La distancia quedara determinada por la siguiente fórmula:

 

EJEMPLO:

Calcular la distancia entre los puntos (5,6) y (-3,2)

Lo que se hace aquí es acomodar los números conforme a la formula dada anteriormente y entonces quedarían así:

 

Seguimos simplificando de la siguiente manera:

Por último para demostrar se tiene que ubicar los puntos P1(X1,Y1) y P2(X2, Y2) en el plano cartesiano y formar un triángulo  rectángulo de hipotenusa P1P2  y emplear el teorema de Pitágoras de la siguiente manera:

Distancia entre un punto y una recta

La distancia entre un punto y una recta es el mínimo de las distancias entre P (el punto) y cualquier otro punto de la recta.

Existen 2 casos, el primero nos dice que si el punto pertenece a la misma recta, su distancia obviamente equivale a cero y el caso 2 el cuál se desarrolla con la fórmula del siguiente ejemplo:

Sea P = (-1, 2) un punto y r: 4x - 3y + 1 = 0 una recta. Calcular la distancia entre el punto y la recta.

Aplicando la fórmula anterior tenemos:

D (P, r) =

Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas, r y s, es la mínima distancia entre un punto cualquiera de r y un punto cualquiera de s.

Las condiciones son:

·         Si las rectas son secantes o coincidentes, su distancia es, evidentemente, cero. Es decir, d(r, s) = 0.

·         Si las rectas son paralelas, la distancia entre r y s es la distancia de un punto de cualquiera de las dos rectas a la otra.

Para encontrar la expresión analítica de la distancia de r a s, supondremos que tenemos r: Ax + By + C = 0 y s: Ax + By + C' = 0.

Como las rectas han de tener vectores directores paralelos, en particular podemos suponer que tienen el mismo y por eso A = A' y B = B'. Como las rectas no pueden ser coincidentes evidentemente tendremos .

Sea ahora P =  un punto perteneciente a la recta r. Entonces tenemos:
d(r, s) = d(P, s) =
Pero como P pertenece a la recta r se tiene


sustituyendo,
d(r, s) = d(P, s) =

EJEMPLO:

Calcular la distancia entre las rectas r: 2x + 3y - 4 = 0 y s: -4x - 6y + 24 = 0.

Para comenzar tenemos que  dividir la ecuación de la recta “s” por -2:
s: 2x + 3y - 12 = 0

Ahora estamos en condiciones de aplicar la fórmula:

d(r, s) = d(P, s) =   

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