DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

A continuación vamos a ver como calcular las distancias entre varios elementos  de un plano.

Para comenzar la medición de la distancia entre 2 puntos cuenta con 2 formas para hacerlo dependiendo en donde se encuentren los puntos.

Por ejemplo si los 2 puntos se encuentran ubicados solo en el eje “X” (abscisas) o en una recta paralela a este eje la distancia entre los puntos corresponde al resultado de diferencias de abscisas.

EJEMPLO:

Distancia entre estos 2 puntos: (-4,0) y (5,0) = 9

Ahora cuando los puntos se encuentran regados en cualquier parte del plano cartesiano La distancia quedara determinada por la siguiente fórmula:

 

EJEMPLO:

Calcular la distancia entre los puntos (5,6) y (-3,2)

Lo que se hace aquí es acomodar los números conforme a la formula dada anteriormente y entonces quedarían así:

 

Seguimos simplificando de la siguiente manera:

Por último para demostrar se tiene que ubicar los puntos P1(X1,Y1) y P2(X2, Y2) en el plano cartesiano y formar un triángulo  rectángulo de hipotenusa P1P2  y emplear el teorema de Pitágoras de la siguiente manera:

Distancia entre un punto y una recta

La distancia entre un punto y una recta es el mínimo de las distancias entre P (el punto) y cualquier otro punto de la recta.

Existen 2 casos, el primero nos dice que si el punto pertenece a la misma recta, su distancia obviamente equivale a cero y el caso 2 el cuál se desarrolla con la fórmula del siguiente ejemplo:

Sea P = (-1, 2) un punto y r: 4x - 3y + 1 = 0 una recta. Calcular la distancia entre el punto y la recta.

Aplicando la fórmula anterior tenemos:

D (P, r) =

Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas, r y s, es la mínima distancia entre un punto cualquiera de r y un punto cualquiera de s.

Las condiciones son:

·         Si las rectas son secantes o coincidentes, su distancia es, evidentemente, cero. Es decir, d(r, s) = 0.

·         Si las rectas son paralelas, la distancia entre r y s es la distancia de un punto de cualquiera de las dos rectas a la otra.

Para encontrar la expresión analítica de la distancia de r a s, supondremos que tenemos r: Ax + By + C = 0 y s: Ax + By + C' = 0.

Como las rectas han de tener vectores directores paralelos, en particular podemos suponer que tienen el mismo y por eso A = A' y B = B'. Como las rectas no pueden ser coincidentes evidentemente tendremos .

Sea ahora P =  un punto perteneciente a la recta r. Entonces tenemos:
d(r, s) = d(P, s) =
Pero como P pertenece a la recta r se tiene


sustituyendo,
d(r, s) = d(P, s) =

EJEMPLO:

Calcular la distancia entre las rectas r: 2x + 3y - 4 = 0 y s: -4x - 6y + 24 = 0.

Para comenzar tenemos que  dividir la ecuación de la recta “s” por -2:
s: 2x + 3y - 12 = 0

Ahora estamos en condiciones de aplicar la fórmula:

d(r, s) = d(P, s) =   

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Ecuación explicita de la recta

Ecuación explícita de la recta

Si de la ecuación $x$ - a v 1 = y - b v 2 despejamos y, resulta:

$y$ - b = v 2 v 1 ( x - a ) → y = v 2 v 1 ( x - a ) + b → y = v 2 v 1 x + ( b - v 2 v 1 a )

Ésta es la ecuación explícita de la recta.

Llamando $m$ = v 2 v 1 y $n$ = ( b - v 2 v 1 a ) , nos queda de la forma: y = mx + n, donde m es la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen.

Vector director	Pendiente
$v$ → = ( v 1 , v 2 )	$m$ = v 2 v 1

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Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

      

                       Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.

Ejemplos

1.Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es .

2.Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1).

3.Sea r la recta de ecuación:

¿Pertenecen a r los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6)?

Dada la recta r:     

4.Hallar las ecuaciones en forma continua y paramétrica.

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Ecuación punto-pendiente de la recta

Bueno la ecuación de la recta punto pendiente , se utiliza cuando ya conocemos un punto en la recta y su pendiente, por eso se llama así.

Bueno están de negro los datos que únicamente se van a sustituir si sedan cuenta y1  y x1 pertenecen al punto que seria P (x1,y1) y M oviamente es la pendiente y esos son lo elementos necesarios para poder utilizar esta formula, asi que si te dan 2 o 3 puntos y no te dan la pendiente n podras utilizar la formula.

Ejemplo:encuentra la ecuacion ordinaria de una recta , a la que le conoces un punto y su pendiente.

Tenemos el punto de la recta y la pendiente  , sustituimos al punto y  le ponemos x1 y y1.

Entonces comparando la ecuación empezamos, dice y- y1 =  m que vale 4 (x-x1( que en este caso x1 tiene el valor de 3).

Despejamos en forma ordinaria que es  Y=mx+b asi que básicamente es despejar( Y) , y para despejar Y tenemos que quitar el paréntesis.

Y para eso tenemos que multiplicar, Y- 5 (el 5 keda igual) el 4 multiplica a x y queda 4x y al 3 y queda -12.

El 5 para dejar sola a la Y tenemos que moverlo al final y al moverlo su signo cambia en este caso es negativo y se pasa a positivo.

El 5 para dejar sola a la Y tenemos que moverlo al final y al moverlo su signo cambia en este caso es negativo y se pasa a positivo.

Y=4x-7 y esa seria la ecuacion ordinaria, por que tenemos Y= a un nuemro con X

 + o este caso es menos, un numero, sin embargo si nos pidieran la ecuacion general de una recta, la ecuacion general es simplemente despejar la ecuacion a 0.

Entonces despejando a cero , entonces moveríamos la Y (por lo general Y siempre va después de la X) y como Y es positiva se pasa siendo negativo ylel resto de la ecuacion seria igual ponemos -7 , y como ya no habría nada enfrente se pone 0 o al final no importa por que 0 es una igualdad y a una ecuación de recta igualada a 0 se llama ecuacion general.

Y bueno en este caso seria todo de la ecuación punto-pendiente


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Ecuación continua de la recta

Es una ecuación como la que se muestra en la imagen.

Bueno para deducir una ecuación continua , necesitamos la ecuación vectorial, la cual resolveremos en una ecuación paramétrica y ahora vamos a ver como resolver de la ecuación paramétrica la llamada ecuación continua.

Despejamos T en la primera ecuación, Si despejamos quedaria X-p1 y partido de V1 y quedaría.

Hacemos lo mismo con la T de la segunda y quedaría.

Razonamiento matemático si T es igual a V1 y T es igual a V2 evidentemente  ambas expresiones serán iguales y quedaría.

Y hasta ahí quedamos , esa es la ecuación continua de la recta.

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Ecuación parametrica

La ecuación paramétrica es aquella que tenemos en la imagen de abajo

Muy sencillo partimos de la ecuacion vectorial

T es el numero que multiplica a las componentes de un vector que serian V1 y V2 y nos quedaría

Suma de coordenadas o componentes (P1,P2 y tv1,tv2) y quedaría

Razonamiento elemental para que la igualdad se cumpla X tiene que ser igual  a (p1+tv1) y “Y” tiene que ser igual  a (p2+tv2)

Y hasta ahí quedamos , y esa es la ecuacion paramétrica de la recta.

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PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Para sacar el punto medio en un segmento basta con hacer los mismo que en una suma de vectores, pero ahora a cada parte la vamos a dividir entre 2, porque estamos sacando la media. Ejemplo:

A= (3,9)       B=(-1,5)

Como observamos los pasos a seguir son los mismos, se saca la operación del primer término de “A” y “B”, se le agrega entre 2 y se hace lo mismo con la B.

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Perpendicularidad entre rectas

Para que dos rectas sean perpendiculares se necesita la siguiente condición:

Ya sea de la primer forma que lo quieras ver o si se te hace muy difícil puedes ocupar la segunda fórmula ya que las dos son la misma, así que esta es la condición para que dos rectas sean paralelas buscar que la otra sea inversa y de signo contrario o que multiplicadas te den menos uno.

Antes de empezar tenemos que recordar ciertas herramientas del  algebra y vamos a empezar con los números inversos supongamos que tenemos el 5 entonces el inverso significa que el 5 divide al uno es decir:

Otra manera más fácil de verlo es que al dividir un número
 entre uno y no alteras el valor entonces su inverso seria volteándolo: 

El ejercicio dice lo siguiente:

-       
          Probar que la recta que pasa por los puntos A(3,5) y B(7,-1) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos C(0,0) y D(12,8)

Gráficamente parecen perpendiculares pero analíticamente tenemos que probar con la condición anteriormente dicha, ahora ordenando los datos:

             A (3,5)

             B (7,-1)                                                                   

             C (0,0)                                                                    

             D (12,8)
 

Formula de pendiente:

Una vez teniendo esto:

Debemos encontrar la pendiente de la recta AB:

Finalmente tenemos la pendiente y podemos observar que si una la invertimos llegamos a la otra, generando como resultado -1.

Y de esta manera sabemos si una recta es perpendicular a otra.




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